Démarche de Calcul d’une Pile de Pont en Béton Armé

Cet article technique présente les étapes clés du processus de calcul d’une pile de pont en béton armé, s’appuyant sur les données relatives à un pont spécifique à poutres en béton armé.

1. Description de l’Ouvrage

Le pont étudié est un pont à poutre en béton armé. Il est constitué de deux travées isostatiques de 20 m chacune. Le tablier repose sur les culées et les piles par l’intermédiaire de 8 appuis en néoprènes. L’ouvrage est de 1ère classe selon le titre II du fascicule 61 (1971).

Les caractéristiques géométriques générales incluent une longueur totale de 41,00 ml (mètres linéaires), avec des travées de 19,50 ml et 20,50 ml et des débords. Transversalement, le tablier a une largeur totale de 10,00 ml, composée d’une chaussée de 8,00 ml et de deux trottoirs de 1,00 ml chacun. Le tablier est constitué de quatre poutres en béton armé de 1,45 m de hauteur espacées de 2,50 m et hourdées par une dalle de 0,18 m d’épaisseur. La hauteur des piles et des culées est de 9,00 m.

2. Propriétés des Matériaux et du Sol

Les calculs s’appuient sur les propriétés des matériaux spécifiées :

• Béton Armé :
  • Densité : r_b = 2,5 T/m³
  • Résistance à la compression à 28 jours : fc28 = 25 MPa
  • Résistance à la compression à j jours (j>28) : fcj = 28 MPa
  • Résistance à la traction : ftj = 2,10 MPa
  • Résistance de calcul : fbc = 14,17 MPa
  • État limite de compression : fbu = 15 MPa
  • Module de déformation différé : Ev = 11168,10 MPa (ou 1116809,99 T/m²)
  • Module de déformation instantané : Ei = 33202,46 MPa (ou 3320245,91 T/m²)
• Sol (propriétés listées, potentiellement pour les fondations ou culées) :
  • Poids volumique de l’eau : re = 1,0 T/m³
  • Poids volumique du sol : rh = 1,8 T/m³
  • Angle de frottement interne du sol : f = 30 degrés
  • Coefficient de poussée des terres : Ka = 0,333
  • Cohésion : c = 0 T/m²

3. Determination des charges et Actions

Les calculs de la pile prennent en compte diverses charges et actions :

• Charges Permanentes (G) : Poids propre du tablier, y compris la superstructure. Le poids total par ml du tablier est de 16,70 T/ml, soit un poids total de 342,40 Ton. Les réactions d’appui pour les charges permanentes sur la pile sont de 342,40 Ton. D’autres charges permanentes incluent le poids du chevêtre, des colonnes et de la semelle de la pile.
• Charges Variables (Q) (d’exploitation) :
  • Système A (Surcharge générale) : 1,17 T/m² (9,36 T/ml).
  • Surcharge sur trottoirs : 0,30 T/ml (SchT). Charge générale de trottoirs : 0,15 T/m². Réaction sur pile : 12,30 Ton.
  • Système B (Camions types 30 ton) : Charge max possible 120,00 Ton. Réaction sur pile : 191,96 Ton.
  • Système BT (Tandems) : Charge 64,00 Ton. Réaction sur pile : 205,03 Ton.
  • Système MC120 (Convoi militaire) : Charge max possible 110,00 Ton. Réaction sur pile : 140,20 Ton.
  • Convoi type E : Charge max possible 200,00 Ton. Réaction sur pile : 215,37 Ton.
  • Surcharge sur remblais (SchR) : 1,00 T/m².
• Efforts Horizontaux et Actions Environnementales :
  • Effort de freinage : 15,00 Ton sur la pile pour le système Bc.
  • Effet du vent : Perpendiculairement à l’axe, Hv2” = 7,04 Ton (cas sans eau), Hv2′ = 6,51 Ton (cas hautes eaux). Parallèlement à l’axe, négligeable pour les piles à colonnes (Hv1 = 0).
  • Effet de l’eau : He = 3,25 Ton.
  • Effet de la température et du retrait : Hp = 2,44 Ton.
  • Force sismique : Peut-être approchée par le poids du tablier x g/10, soit F = 34,24 Ton. Hs1p = 34,24 Ton (perpendiculaire), Hs2p = 34,24 Ton (parallèle) sur la pile.

Les combinaisons d’actions aux États-Limites Ultimes (ELU) et aux États-Limites de Service (ELS) sont définies par les Directives Communes de 1979 et les règles BAEL 91. Pour les ELU, les combinaisons durables ou transitoires sont généralement de la forme 1,35 Gmax + Gmin + Σγi Qi, et la combinaison accidentelle est G + 0,8 Q + Séisme. Pour les ELS, la combinaison est Gmax + Gmin + Σγi Qi.

4. Calcul des Efforts sur la Pile

Les efforts transmis à la pile sont déterminés pour diverses combinaisons de charges. Ces efforts comprennent :

• Effort Normal (N) : Somme des charges verticales (charges permanentes, réactions des charges variables, poids propre des éléments de la pile, etc.).
• Effort Horizontal (H) : Somme des efforts horizontaux (vent, eau, freinage, température, séisme) résultant des différentes combinaisons de charges et de l’application des coefficients de rigidité des appuis (voir section 5).
• Moment de Renversement (Mr) : Moment créé par les efforts horizontaux par rapport au pied de la pile (Mr = H * bras de levier).

Ces efforts peuvent être récapitulés dans un tableau pour différentes combinaisons, telles que G+1,2.Max(A,Bc,Bt)+1,2.Tr, Cas de Séisme (S), G+0,8.Max(A,Bc,Bt,Mc120), Vent, Eau, Freinage, Température et retrait. La charge totale en service (Total en charge) peut atteindre 1153,28 Ton, et en cas de séisme (Cas de Séisme), 1165,69 Ton.

5. Calcul des Déplacements et Coefficients de Rigidité

Pour répartir les efforts horizontaux du tablier sur les appuis (culées et piles), on calcule le déplacement produit en tête d’appui par une charge unitaire de 1 Ton. Le déplacement total en tête d’appui est la somme du déplacement de la structure de l’appui (pile ou culée) et du déplacement de l’appareil d’appui (néoprène).

• Déplacement de la structure d’appui (Pile) :
  • Calculé par U1 = (1t x H³)/(3EI), où H est la hauteur de l’appui (Hp=9,00 m), E est le module de déformation, et I est le moment d’inertie de l’appui (Ip=0,08 m⁴).
  • Déplacement instantané : U1i = (1t x Hp³)/(3 x Ei x Ip) = 0,000910 m (avec Ei = 3320245,91 T/m²).
  • Déplacement différé : U1v = (1t x Hp³)/(3 x Ev x Ip) = 0,002705 m (avec Ev = 1116809,99T/m²).
• Déplacement de l’appareil d’appui (Néoprène) : Les appuis néoprènes ont des caractéristiques a=300 mm, b=300 mm, T=40 mm, G=80,00 T/m².
  • Déplacement à long terme : U2v = (1t x T) / (3G a b) = 0,000231 m.
  • Déplacement à court terme : U2i = U2v / 2 = 0,000463 m.
• Déplacement total en tête d’appui :
  • Instantané : Ui = U1i + U2i = 0,000910 + 0,000463 = 0,001373 m.
  • Différé : Uv = U1v + U2v = 0,002705 + 0,000231 = 0,002937 m.

Ces déplacements unitaires permettent de calculer les coefficients de rigidité (Ki, Kv) de chaque appui, qui sont utilisés pour la répartition des efforts horizontaux du tablier. Dans le cas de cet ouvrage avec une culée et une pile présentant les mêmes déplacements unitaires, les coefficients de rigidité pour la pile et la culée sont de Ki = 0,50 et Kv = 0,50, indiquant une répartition égale des efforts horizontaux entre la pile et la culée. L’effort de freinage sur un appui est ainsi calculé comme Hi = 30 x Ki.

6. Vérifications de la Pile

Deux vérifications principales sont présentées pour la pile : le flambement et les contraintes dans le béton.

• Vérification du Flambement :
  • La colonne de la pile est considérée encastrée libre entre la semelle et le chevêtre.
  • Le calcul de la longueur de flambement (Lf) dépend de la rigidité de l’appui supérieur (modélisée par K) et des propriétés de la colonne.
  • Un paramètre K lié à la rigidité de l’appui néoprène est calculé : K = G.a.b / T = 80,00 T/m² x 0,3 m x 0,3 m / 0,04 m = 180,00 T/m.
  • La longueur de flambement Lf est calculée à partir de la hauteur libre h (ici la hauteur de la pile = 9m) et d’une valeur xo. xo est la solution d’une équation impliquant les propriétés de la colonne et la rigidité K de l’appui supérieur : Tan(x) = x – (EI / (K.h³)) . x³. La valeur du terme EI / (K.h³) = 0,171 (en utilisant EI = 11168,0999) et la solution correspondante xo = 2,656250.
  • La longueur de flambement est alors Lf = π . h / xo = 3,14159… x 9 m / 2,656250 ≈ 10,644 ml.
  • Le calcul vérifie ensuite l’élancement (l) de la colonne. L’élancement est défini par l = Lf / i, où i est le rayon de giration de la section de béton. Le rayon de giration est calculé par i = √(I/B), où I est le moment d’inertie de la section de béton et B est son aire.
  • Pour cette vérification spécifique, les valeurs utilisées pour la section sont B = 0,50 m² et I = 0,02 m⁴.
  • Le rayon de giration est donc i = √(0,02 / 0,50) = √0,04 = 0,20 m.
  • L’élancement est l = 10,644 / 0,20 = 53,22.
  • La condition de vérification du flambement est que l’élancement soit inférieur à une certaine limite. Ici, la condition 53,22 < 70 est vérifiée.
• Vérification des Contraintes dans le Béton :
  • Cette vérification s’assure que les contraintes de compression dans le béton ne dépassent pas les limites admissibles. La contrainte est donnée par σ = Nc / B, où Nc est l’effort normal de compression et B est l’aire de la section de béton. La limite admissible est de 0,6 x fc28, qui vaut 1500 T/m² (correspondant à 15 MPa ou 0,6 * 25 MPa).
  • Contrainte aux pieux (fondation) : La charge verticale totale transmise à la fondation (sous la semelle) peut atteindre 1165,69 Ton. Cette charge, combinée aux moments de renversement, génère une charge verticale variable sur chaque pieu. La charge verticale totale transmise à un seul pieu est calculée comme 300,60 Ton. La contrainte vérifiée au niveau des pieux est de 382,73 T/m², ce qui est inférieur à la limite de 1500 T/m². La condition est vérifiée.
  • Contrainte aux colonnes (corps de la pile) : La charge verticale totale transmise aux colonnes est la même que celle transmise à la fondation, 1165,69 Ton. En considérant le nombre de colonnes (4 U en pile), la charge verticale totale transmise à une seule colonne est calculée comme 302,73 Ton. La contrainte vérifiée au niveau des colonnes est de 602,27 T/m², ce qui est inférieur à la limite de 1500 T/m². La condition est vérifiée.

Conclusion

La démarche de calcul d’une pile de pont en béton armé implique la détermination précise des propriétés des matériaux, l’évaluation de toutes les charges et actions (permanentes, variables, environnementales), le calcul des efforts résultants sur la pile (effort normal, effort horizontal, moment), l’analyse des déplacements et la détermination des coefficients de rigidité pour la répartition des efforts horizontaux. Les vérifications structurelles cruciales incluent l’analyse du flambement, en déterminant la longueur de flambement et l’élancement de la colonne, et la vérification des contraintes de compression dans le béton au niveau des colonnes de la pile et des pieux de fondation. Ces étapes, basées sur les règles de calcul et les données spécifiques de l’ouvrage, garantissent la stabilité et la sécurité de la pile sous différentes conditions de charge.